18150. Около треугольника ABC
, в котором AC\lt AB
, описана окружность. Точка D
перемещается по её меньшей дуге AC
. Точка E
симметрична A
относительно биссектрисы угла BDC
. Докажите, что все прямые BD
проходят через фиксированную точку.
Указание. Все прямые BD
проходят через отличную от D
точку пересечения описанной окружности треугольника ABC
с прямой DE
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения биссектрисы угла BDC
описанной окружностью \Gamma
треугольника ABC
. Поскольку точка D
лежит на меньшей дуге AC
, точка M
лежит на дуге BC
, не содержащей точки A
. Тогда M
— середина этой дуги (см. задачу 430). Следовательно, точка M
не зависит от положения точки D
на меньшей дуге AC
.
Пусть S
— отличная от D
точка пересечения прямой DE
с окружностью \Gamma
. Докажем, что S
не зависит от положения точки D
на меньшей дуге AC
.
Действительно, из симметрии
\angle AMD=\angle ASD=\angle ASE~\mbox{и}~\angle AME=2\angle AMD=2\angle ASE.
Рассмотрим окружность \Omega
с центром M
, проходящую через точку A
. Поскольку MA=ME
, окружность \Omega
проходит через точку E
. Центральный угол AME
окружности \Omega
вдвое больше соответствующего вписанного угла ASE
, т. е. \angle AME=2\angle ASE
. Значит, точка S
тоже лежит на окружности \Omega
(см. задачу 2900). Тогда S
— отличная от A
точка пересечения окружностей \Omega
и \Gamma
, поэтому S
не зависит от положения точки D
на меньшей дуге AC
окружности \Gamma
. Следовательно, все прямые BD
проходят через фиксированную точку S
.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2020, задача 2, с. 33