18168. Продолжение биссектрисы AL
остроугольного треугольника ABC
пересекает его описанную окружность в точке N
. Точки K
и M
— проекции точки L
на стороны AB
и AC
соответственно. Докажите, что четырёхугольник AKNM
равновелик треугольнику ABC
.
Указание. Докажите, что BKPN
и NPMC
— трапеции. Далее см. задачу 3017.
Решение. Пусть P
— отличная от L
точка пересечения окружности с диаметром AL
, описанной около четырёхугольника AKLM
, и стороны BC
. Заметим, что точка N
— середина меньшей дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 430). Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, поэтому
\angle BCN=\angle BAN~\mbox{и}~\angle MAL=\angle MPL.
Тогда
\angle BCN=\angle BAN=\angle BAL=\angle MAL=\angle MPL=\angle MPC,
поэтому PM\parallel NC
. Аналогично докажем, что KP\parallel BN
. Значит, BKPN
и NPMC
— трапеции. Пусть X
и Y
— точки пересечения диагоналей этих трапеций соответственно. Тогда ,
S_{\triangle XNP}=S_{\triangle XMC}~\mbox{и}~S_{\triangle YKB}=S_{\triangle YNP}
(см. задачу 3017).
Далее получаем
S_{\triangle ABC}=S_{AKYXM}+S_{\triangle YKB}+S_{\triangle XMC}=
=S_{AKYXM}+S_{\triangle YNP}+S_{\triangle XNP}=S_{AKYXM}+S_{\triangle XNY}=S_{AKNM}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 69, с. 65