18175. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон BC
и AC
в точках D
и E
соответственно. Точка E
лежит на меньшей дуге DE
этой окружности, причём \angle APE=\angle DPB
. Отрезки AP
и BP
пересекают отрезок DE
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что 2KL=DE
.
Указание. См. задачи 10049 и 130.
Решение. Пусть F
— точка касания вписанной окружности треугольника треугольника ABC
стороной AB
, а M
и N
— середины отрезков EF
и DF
соответственно. Тогда BP
— симедиана треугольника DPF
(см. задачу 10449), поэтому
\angle KPE=\angle DPB=\angle NPF,
а так как
\angle PEK=\angle PED=\angle PFN,
то треугольники PEK
и PFN
подобны по двум углам. Аналогично, треугольники PDL
и PFM
подобны по двум углам. Тогда
\frac{EK}{FN}=\frac{PE}{PF}~\Rightarrow~EK=FN\cdot\frac{PD}{PF}=\frac{DF\cdot PE}{2PF}.
Аналогично,
DL=FM\cdot\frac{PD}{PF}=\frac{EF\cdot PD}{2PF}.
Значит, сложив эти равенства и применив теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику DPEF
(см. задачу 130), получим
EK+DL=\frac{DP\cdot PE+EF\cdot PD}{2PF}=\frac{PF\cdot DE}{2PF}=\frac{1}{2}DE.
Следовательно,
KL=DE-(EK+DL)=DE-\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}DE.
Что и требовалось доказать.
Автор: Доледенок А. В.
Источник: Олимпиада Метрополий. — 2017, день 2, задача 6