18178. Точки M
, N
и P
— середины сторон AB
, AC
и BC
треугольника ABC
. Найдите площадь треугольника MNP
, если AM=MB=BP=15
и AN=NC=CP
.
Ответ. 150.
Решение. Заметим, что
AB=2AM=30,~BC=15+25=40,~AC=2AN=50,
поэтому треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине B
(см. задачу 1972). Кроме того, MN
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому (см. задачу 3021) MN\parallel BC
, значит, треугольник MNP
равновелик любому треугольнику со стороной MN
и противоположной вершиной Q
, лежащей на прямой BC
например, если Q
— середина стороны BC
. Следовательно,
S_{\triangle MNP}=S_{\triangle MNQ}=S_{\triangle AMN}=S_{\triangle ABC}-3\cdot S_{\triangle AMN}=S_{\triangle ABC}-3\cdot\frac{3}{4}S_{\triangle AMN}=
=S_{\triangle ABC}-3\cdot\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot30\cdot40=150.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2013, задача 7, с. 2