18192. Дан треугольник ABC
со стороной BC=10
. Его медианы BE
и CF
пересекаются в точке G
. Известно, что четырёхугольник AEGF
вписанный. Найдите сумму A^{2}+AC^{2}
.
Ответ. 200.
Решение. Пусть M
— середина стороны BC
, а луч AM
пересекает описанную окружность \Omega
треугольника ABC
в точке G'
. При гомотетии с центром A
и коэффициентом 2 точки E
и F
переходят в точки C
и B
соответственно, а описанная окружность \omega
четырёхугольника AEGF
— в окружность \Omega
. Тогда точка G
переходит в точку G'
, лежащую на окружности \Omega
.
По теореме о произведении пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AM\cdot MG'=BM\cdot MC=5\cdot5=25,
а так как G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, то
MG'=AG'-AM=2AG-AM=2\cdot\frac{2}{3}AM-AM=\frac{4}{3}AM-AM=\frac{1}{3}AM=MG.
Тогда
25=AM\cdot MG=AM\cdot\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}AM^{2}~\Rightarrow~AM=5\sqrt{3}.
Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABA'C
. Тогда (см. задачу 4011)
BC^{2}+AA'^{2}=2(AB^{2}+AC^{2}).
Следовательно,
AB^{2}+AC^{2}=\frac{1}{2}(BC^{2}+AA'^{2})=\frac{1}{2}BC^{2}+\frac{1}{2}AA'^{2}=
=\frac{1}{2}BC^{2}+\frac{1}{2}\cdot4AM^{2}=\frac{1}{2}BC^{2}+2AM^{2}=50+2\cdot75=200.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2014, задача 17, с. 6