18194. Различные точки A
, B
, M
, C
и D
лежат в указанном порядке на одной прямой, причём AB=BM=MC=CD=6
. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
радиусов 4 и 9 касаются прямой AD
в точках A
и D
соответственно, причём точки O_{1}
и O_{2}
лежат по одну сторону от прямой AD
. Прямая, проходящая через точку B
перпендикулярно MO_{1}
, и прямая, проходящая через точку C
перпендикулярно MO_{2}
, пересекаются в точке P
. Найдите разность PO_{2}^{2}-PO_{1}^{2}
.
Ответ. 65.
Указание. Докажите, что точка P
— радикальный центр окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
и точки M
.
Решение. Поскольку BP\perp MO_{1}
и BA=BM
, точка P
лежит на радикальной оси окружности \omega_{1}
и окружности нулевого радиуса с центром M
(т. е. точки M
, см. примечание к задаче 6391). Аналогично, точка P
лежит на радикальной оси окружности \omega_{2}
и точки M
. Следовательно, точка P
— радикальный центр окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
и точки M
.
Тогда (см. задачу 2636)
PO_{1}^{2}-4^{2}=PO_{2}^{2}-9^{2}~\Rightarrow~PO_{2}^{2}-PO_{1}^{2}=9^{2}-4^{2}=65.
Примечание. Результат не изменится, заменить условие AB=BM=MC=CD=6
на AB=BM
и MC=CD
.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2015, задача 17, с. 6