18198. Дан треугольник ABC
, в котором AB=10
, а медианы, проведённые из вершин A
и B
равны 9 и 12 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 72.
Решение. Пусть G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
GA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot9=6~\mbox{и}~GB=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\cdot12=8.
Значит, треугольник AGB
прямоугольный с прямым углом при вершине G
(см. задачу 1972), поэтому
S_{\triangle AGB}=\frac{1}{2}GA\cdot GB=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24.
Следовательно (см. задачу 3013),
S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle AGC}=3\cdot24=72.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2019, задача 8, с. 3