18200. Треугольник ABC
вписан в окружность \omega
. Окружность с хордой BC
вторично пересекает отрезки AB
и AC
в точках S
и R
соответственно. Отрезки BR
и CS
пересекаются в точке L
, а лучи LR
и LS
пересекают окружность \Omega
в точках D
и E
соответственно. Биссектриса угла BDE
пересекает прямую ER
в точке K
. Известно, что BE=BR
. Докажите, что \angle ELK=\frac{1}{2}\angle BCD
.
Решение. Сначала докажем, что BE=BR=BC
. Действительно, построим окружность \Omega
с центром B
и радиусом BE=BR
. Пусть эта окружность пересекает прямую BC
в точке C'
. Тогда вписанный в окружность \Omega
угол ECR
равен половине соответствующего центрального угла EBR
, поэтому точка C'
лежит на окружности \Omega
(см. задачу 2900), а значит, совпадает с точкой C
. Следовательно, BE=BR=BC
. Что и требовалось доказать.
Заметим, что DB
— биссектриса угла EDC
, так как вписанные в окружность \omega
углы BDE
и BDC
опираются на равные хорды BE
и BC
. В то же время, CA
— биссектриса угла DCE
, так как
\angle ACD=\angle ABD=\angle ABE=\angle ACE.
Значит, R
— точка пересечения биссектрис треугольника CDE
, а так как DK
— биссектриса угла BDE
и ER
— биссектриса угла CED
, то LK
— биссектриса угла DLE
. Следовательно (см. задачу 26),
\angle ELK=\frac{1}{2}\angle ELD=\frac{1}{2}\cdot\frac{\smile DAE+\smile BC}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\smile DAE+\smile BE}{2}=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\smile BED=\frac{1}{2}\angle BCD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады США. — 2013, задача 4, с. 5