18205. Точки P
и Q
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём AP=AQ
. Точки R
и S
лежат на отрезке BC
, причём точка S
лежит между B
и R
, а \angle BPS=\angle PRS
и \angle CQR=\angle QSR
. Докажите, что точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной окружности.
Указание. Предположите, что это не так и докажите, что тогда AP
и AQ
— касательные к различным описанным окружностям треугольников PRS
и QRS
, а радикальная ось SR
этих окружностей содержит точку A
.
Решение. Допустим, что это не так. Тогда описанные окружности треугольников PRS
и QRS
различны, а так как SR
— их общая хорда, то прямая SR
— радикальная ось этих окружностей (см. задачу 6392). В то же время, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144) AP
и AQ
— касательные к этим окружностям, а так как AP=AQ
, то точка A
должна лежать на их радикальной оси, т. е. на прямой BC
, что невозможно. Следовательно, описанные окружности треугольников PRS
и QRS
совпадают, поэтому точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной окружности.
Источник: Математические олимпиады США. — 2012 задача 1, с. 3