18239. Остроугольный треугольник ABC
вписан в окружность с центром O
. Прямая AO
пересекает отрезок BC
в точке D
. Точка E
на отрезке BC
такова, что D
— середина отрезка CE
. Основание T
перпендикуляра, опущенного из E
на CO
, лежит в треугольнике ABD
. Прямая BT
пересекает окружность, описанную около треугольника ABD
, в точке K
. Докажите, что AK\parallel CO
.
Решение. Поскольку треугольник CET
прямоугольный, середина гипотенузы D
равноудалена от вершин T
и C
(см. задачу 1109). Тогда из равнобедренных треугольников DTC
и OBC
получаем
\angle OTD=\angle OCD=\angle OBD,
поэтому четырёхугольник OTBD
вписанный (см. задачу 12). Значит,
\angle ADB=\angle ODB=\angle OTK.
С другой стороны, поскольку четырёхугольник AKDB
вписанный, то по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу
\angle ADB=\angle AKB=\angle AKT.
Итак, \angle OTK=\angle AKT
, откуда и следует, что прямые OT
(т. е. CO
) и AK
параллельны.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, региональный этап, второй день, задача 9.8, 9 класс