18245. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
. Биссектриса угла ABC
пересекает CD
в точке E
, а описанную окружность \omega
треугольника ADE
— в точке F
. Известно, что \angle ADF=45^{\circ}
. Докажите, что CF
— касательная к окружности \omega
.
Указание. Докажите, что \angle CFE=\angle EAF=45^{\circ}
.
Решение. Заметим, что поскольку \angle ADF=45^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ADE
, то DE
— биссектриса внешнего угла при вершине D
треугольника BDC
, а так как по условию BF
— биссектриса внутреннего угла этого треугольника при вершине B
, то (см. задачу 1192) CF
— биссектриса внешнего угла при вершине C
(т. е. F
— центр вневписанной окружности треугольника BDC
, касающейся стороны CD
).
Пусть \angle ABC=2\beta
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ECF=\frac{1}{2}(\angle BDC+\angle BCD)=\frac{1}{2}(90^{\circ}+2\beta)=45^{\circ}+\beta,
\angle CEF=\angle DCB+\angle FBC=(90^{\circ}-2\beta)+\beta=90^{\circ}-\beta.
Значит,
\angle CFE=180^{\circ}-(\angle ECF+\angle CEF)=180^{\circ}-((45^{\circ}+\beta)+(90^{\circ}-\beta))=45^{\circ}=\angle EAF.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), CF
— касательная к окружности \omega
. Что и требовалось доказать.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2014, задача 1, с. 5