18247. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором \angle DAB=\angle BCD=90^{\circ}
и \angle ABC\gt\angle CDA
. Точки Q
и R
лежат на отрезках BC
и CD
соответственно, причём прямая QR
пересекает прямые AB
и AD
в точках P
и S
соответственно. Известно также, что PQ=RS
. Точки M
и N
— середины отрезков BD
и QR
соответственно. Докажите, что точки M
, N
, A
и C
лежат на одной окружности.
Указание. Докажите, что \angle ANC=\angle AMC
.
Решение. Заметим, что N
— середина QR
. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому (см. задачу 1109) треугольник CMR
равнобедренный, NC=NR
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника \angle ANP=\angle ASP
. Аналогично, из прямоугольного треугольника CQR
получаем \angle CNQ=2\angle CRQ
. Значит,
\angle ANC=\angle ANP+\angle CNQ=2(\angle ASP+\angle CRQ)=2(\angle RSD+\angle DRS)=2\angle ADC.
Аналогично, из прямоугольных треугольников BAD
и BCD
получаем
\angle AMC=\angle AMB+\angle BMC=2(\angle ADB+\angle BDC)=2\angle ADC.
Таким образом, \angle ANC=\angle AMC
. Следовательно (см. задачу 12), точки M
, N
, A
и C
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2016, второй день, задача 1, с. 4