18249. Около треугольника ABC
описана окружность \Gamma
. Окружность \Omega
касается отрезка AB
, а также окружности \Gamma
в точке, лежащей с точкой C
по одну сторону от прямой AB
. Биссектриса угла BCA
пересекает окружность \Omega
в двух различных точках P
и Q
. Докажите, что \angle ABP=\angle QBC
.
Решение. Заметим, что биссектриса угла BCA
пересекает дугу AB
окружности \Gamma
, не содержащую точки C
, в середине M
этой дуги (см. задачу 430). Пусть V
— точка касания окружностей \Gamma
и \Omega
, а U
— точка касания окружности \Omega
со стороной AB
.
Поскольку окружности \Gamma
и \Omega
гомотетичны с центром V
(см. задачу 6401), то точки V
, U
и M
лежат на одной прямой.
Поскольку
\angle AVM=\angle ABM=\angle BAM=\angle UAM,
треугольники MAV
и MUA
с общим углом при вершине M
подобны по двум углам, поэтому
\frac{MV}{MA}=\frac{MA}{MU}~\Rightarrow~MV\cdot MU=MA^{2}=MB^{2}~\Rightarrow~MP\cdot MQ=MU\cdot MV=MB^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{MP}{MB}=\frac{MB}{MQ}.
Тогда треугольники MBP
и MQB
с общим углом при вершине M
подобны, поэтому \angle MBP=\angle MQB
. Следовательно, учитывая, что \angle MCB=\angle MBA
, а BQM
— внешний угол треугольника CBQ
, получаем
\angle QBC=\angle MQB-\angle MCB=\angle MBP-\angle MBA=\angle ABP.
Что и требовалось доказать.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2016, второй день, задача 5, с. 8