18254. Дан остроугольный треугольник ABC
. Точки B
, D
, E
и C
лежат на одной прямой в указанном порядке, причём BD=DE=EC
. Точки M
и N
— середины отрезков AD
и AE
соответственно, а H
— ортоцентр треугольника ADE
. Точки P
и Q
лежат на прямых BM
и CN
, соответственно, причём D
, H
, M
и P
лежат на одной окружности и E
, H
, N
и Q
лежат на одной окружности. Докажите, что точки P
, Q
, N
и M
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть B'
и C'
— точки, симметричные B
и C
относительно M
и N
соответственно. Тогда AB'\parallel BD
и AC'\parallel CE
, поэтому точки C'
, A
и B
лежат на одной прямой, а DEB'A
— параллелограмм. Поскольку EH\perp AD
, а B'E\parallel AD
, то EH\perp EB'
. Также HA\perp AB'
, поэтому точки H
, E
, B'
и A
лежат на окружности с диаметром B'H
. Значит,
\angle C'QH=\angle NQH=\angle NEH=\angle AEH=\angle AB'H=\angle C'B'H,
поэтому точки C'
, B'
, Q
и H
на одной окружности (см. задачу 12). Аналогично, точки C'
, B'
, P
, H
лежат на одной окружности. Обе эти окружности проходят через точки H
, B'
и C'
, не лежащие на одной прямой, значит, эти окружности совпадают. Тогда точки B'
, C'
, P
, Q
и H
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle NMB'=\angle AB'M=\angle C'B'P=\angle C'QP=\angle NQP~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle PQN=\angle NMB'=180^{\circ}-\angle PMQ.
Отсюда получаем утверждение задачи (см. задачу 49).
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2025, задача 3, с. 6