18276. Биссектриса угла ABC
равнобедренного треугольника ABC
, в котором \angle BAC=108^{\circ}
, пересекает описанную окружность треугольника в точке D
. На отрезке BC
отмечена точка E
, для которой AB=BE
. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку CD
касается описанной окружности треугольника ABE
.
Решение. Углы при основании AE
равнобедренного треугольника ABE
равны по 36^{\circ}
. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а прямая l
— серединный перпендикуляр к хорде CD
. Треугольник ABE
равнобедренный, поэтому
\angle AEB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}-18^{\circ}=72^{\circ}~\Rightarrow~\angle AOB=2\angle ABC=72^{\circ}.
(центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного). Значит (см. задачу 12), описанная окружность треугольника ABE
проходит через точку O
. Серединный перпендикуляр l
к хорде CD
тоже проходит через точку O
. Докажем, что прямая l
— касается описанной окружности треугольника ABE
в точке O
.
Действительно, поскольку
\angle ACD=\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot36^{\circ}=18^{\circ},
а также
\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD=36^{\circ}+18^{\circ}=54^{\circ},
то
\angle ABC+\angle BCD=90^{\circ}.
Значит, AB\perp CD
. Тогда AB\perp CD
, откуда l\parallel AB
, а так как треугольник AOB
равнобедренный, то касательная к его описанной окружности в точке O
тоже параллельна AB
(см. задачу 1734), а следовательно, совпадает с l
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Желябовский Б.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 6, 8 класс, с. 4