18279. На чертеже изображён треугольник ABC
и отмечены центр I
его вписанной окружности и точки K_{1}
и K_{2}
касания вписанной окружности со сторонами BC
и AC
соответственно. С помощью циркуля и линейки постройте центр вневписанной окружности треугольника CK_{1}K_{2}
, касающейся его стороны CK_{2}
, проведя не более четырёх линий (т. е. прямых или окружностей).
Указание. См. задачу 362.
Решение. С центром в данной точке I
проведём окружность радиусом IK_{1}
и прямую CI
. Пусть эти две линии пересекаются в точках D
и E
(CD\lt CE
). Тогда D
— центр вписанной окружности треугольника CK_{1}K_{2}
(см. задачу 362).
Поскольку DE
— диаметр проведённой окружности, то \angle DK_{2}E=90^{\circ}
, поэтому прямая EK_{2}
содержит биссектрису внешнего угла при вершине K_{2}
треугольника CK_{1}K_{2}
(см. задачу 937). В то же время, прямая K_{1}D
содержит биссектрису внутреннего угла при вершине K_{1}
этого треугольника. Значит, точка F
пересечения прямых EK_{2}
и K_{1}D
— центр вневписанной окружности треугольника CK_{1}K_{2}
, касающейся его стороны CK_{2}
(см. задачу 1192).
Следовательно, для нужного построения точки F
проведены четыре линии.
Примечание. Точка E
— центр вневписанной окружности треугольника CK_{1}K_{2}
, касающейся его стороны K_{1}K_{2}
.
Автор: Филипповский Г. Б.
Автор: Райман В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 3, 9 класс, с. 6