18295. Точки O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей остроугольного треугольника ABC
, M
— середина BC
. Известно, что прямая OI
параллельна стороне BC
, а прямая MI
пересекает высоту AH
в точке T
. Найдите IT
, если радиус вписанной окружности треугольника ABC
, равен r
.
Решение. Поскольку OI\parallel BC
, то OM=r
. Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. По формуле Эйлера OI^{2}=R^{2}-2Rr
(см. задачу 126). Тогда из прямоугольного треугольника IOM
по теореме Пифагора находим
MI^{2}2=OI^{2}+OM^{2}=R^{2}-2Rr+r^{2}=(R-r)^{2},
откуда MI=R-r
.
Далее воспользуемся следующим фактом (см. задачу 802). Если через середину M
стороны BC
треугольника ABC
и центр I
вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая MI
, которая пересекает высоту AH
в точке T
, то отрезок AT
равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC
.
Получаем, что четырёхугольник ATMO
— параллелограмм. Следовательно,
IT=MT-MI=R-(R-r)=r.
Что и требовалось доказать.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2018, II, задача 6, 10-11 классы, с. 8