18307. Высоты BD
и CT
треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Точка M
— середина отрезка DT
. На биссектрису угла BAC
опущен перпендикуляр HQ
. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
, биссектриса угла BHC
и прямая QM
пересекаются в одной точке.
Указание. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, F
— точка пересечения биссектрисы угла BHC
с биссектрисой внешнего угла треугольника ABC
при вершине A
. Докажите, что A
, H
, T
, Q
, D
и F
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть L
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
со стороной BC
, биссектриса угла BHC
пересекает сторону BC
в точке E
, а биссектрису внешнего угла треугольника ABC
— в точке F
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Нужно доказать, что точки Q
, M
и F
лежат на одной прямой.
Точки точки A
, D
, T
и H
лежат на одной окружности, так как
\angle HTA=\angle HAD=90^{\circ}.
Тогда сумма двух противолежащих углов четырёхугольника ADHT
равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle DHT=180^{\circ}-\alpha~\Rightarrow~\angle THF=\frac{1}{2}\angle DHT=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
а так как угол между биссектрисами смежных углов равна 90^{\circ}
, то
\angle TAF=90^{\circ}-\angle BAL=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle THF.
Значит, четырёхугольник AFTH
вписанный (см. задачу 12).
Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести единственную окружность, поэтому описанные окружности четырёхугольников AQHT
(с диаметром AH
), AFTH
и ADTH
, имеющие три общие точки A
, H
и T
, совпадают. Значит, точки A
, H
, T
, Q
, D
и F
лежат на одной окружности.
Поскольку AQ
— биссектриса угла DAT
, точка Q
— середина дуги DHT
. Тогда треугольник DQT
равнобедренный (QT=QD
), а так как QF
— диаметр окружности, то F
— середина её дуги DAT
. Значит (см. задачу 430), биссектриса угла DQT
проходит через точку F
, а так как медиана QM
равнобедренного треугольника является его биссектрисой, то точки Q
, M
и F
лежат на одной прямой. Следовательно, все три биссектрисы пересекаются в одной точке F
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 6, 8-9 классы, с. 4