18311. Отрезки BF
и CN
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Прямая OI
, проходящая через центры O
и I
соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, параллельна прямой FN
. Найдите высоту AK
треугольника ABC
, если радиусы описанной и вписанной равны R
и r
соответственно.
Ответ. R+r
.
Решение. Пусть IT
— перпендикуляр к AK
. Поскольку AO\perp FN
(см. задачу 480), а OI\parallel FN
, то \angle AOI=90^{\circ}
, а так как AI
— биссектриса угла BAC
и \angle OAC=\angle BAK
(см. задачу 20), то
\angle IAO=\angle IAC-\angle OAC=\angle IAB-\angle BAK=\angle IAT.
Значит, прямоугольные треугольники AOI
и ATI
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда AT=AO=R
.
Пусть P
— проекция точки I
на прямую BC
. Тогда IPKT
— прямоугольник, а так как P
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
, то TK=IP=r
. Следовательно,
AK=AT+TK=R+r.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 3, 10-11 классы, с. 8