18318. В окружности \omega
провели хорду BC
, не являющуюся диаметром. Точка A
движется по окружности \omega
. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
. Докажите, что при любом положении точки A
на \omega
, окружность с диаметром AH
касается двух фиксированных окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности \omega
, R
— радиус \omega
, M
— середина хорды BC
, D
— середина AH
, \omega'
— окружность с диаметром AH
, r'
радиус окружности \omega'
.
Воспользуемся следующим фактом (см. задачу 1760): две окружности радиусов r
и R
(r\leqslant
) касаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно R+r
или R-r
.
Пусть PQ
— диаметр окружности \omega
, которому принадлежит точка M
, причём M
лежит на отрезке OQ
. Докажем, что окружность \omega'
касается окружностей с центрами в точке M
и радиусами MP
и M
(обозначим эти окружности соответственно \omega_{1}
и \omega_{2}
). Очевидно, что эти окружности не зависят от выбора точки A
на окружности \omega
.
Известно, что расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны треугольника (см. задачу 1257), поэтому
OM=\frac{1}{2}AH=AD=r'.
Значит, четырёхугольник OADM
— параллелограмм т. е. его противоположные стороны OM
и AD
равны и параллельны. Тогда MP=OP+OM=R+r'
— радиус окружности \omega_{1}
, а MQ=OQ-OM=R-r'
— радиус окружности \omega_{2}
. Таким образом, расстояние DM
между центрами окружностей \omega'
и \omega_{2}
равно сумме их радиусов (т. е. R+r')
, а расстояние MP
между центрами \omega'
и \omega_{1}
— разности их радиусов (т. е. MP=R+r'
). Следовательно, окружность \omega'
касается окружностей \omega_{2}
и \omega_{1}
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 6, 8-9 классы, с. 5