18331. Точка W
— середина дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
, причём W
и A
лежат по разные стороны от прямой BC
. На сторонах AB
и AC
взяты точки соответственно P
и Q
, для которых APWQ
— параллелограмм, а на стороне BC
— точки K
и L
, для которых BK=KW
и CL=LW
. Докажите, что прямые AW
, KQ
и LP
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть \angle BAC=2\alpha
. Поскольку треугольник BKW
равнобедренный, а AW
— биссектриса угла BAC
(см. задачу 4300), то
\angle BWK=\angle WBK=\angle WBC=\angle WAC=\alpha.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle WKC=\angle BWK+\angle WBK=\angle BWK+\angle CBW=2\alpha,
а так как WQ\parallel AB
, то
\angle WQC=\angle PAQ=\angle BAC=2\alpha=\angle WKC.
Значит, четырёхугольник WKQC
вписанный (см. задачу 12). Аналогично, четырёхугольник WBPL
тоже вписанный. Следовательно,
\angle WPL=\angle WBL=\angle WCL=\alpha~\mbox{и}~\angle KQW=\angle KCW=\alpha,
поэтому
\angle BPL=\angle CQK=2\alpha+\alpha=3\alpha,
а так как диагональ AW
параллелограмма APWQ
— биссектриса угла PAC
, то APWQ
— ромб.
Прямые PL
и QK
пересекают AW
в точках D'
и D''
соответственно. Поскольку
AP=AQ,~\angle PAD'=\angle QAD''=\alpha,~\angle APD'=\angle AQD''=180^{\circ}-3\alpha,
то треугольники APD'
и AQD''
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AD'=AD''
. Следовательно, точки D'
и D''
совпадают. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 2, 8 класс, с. 2