18369. Дан остроугольный треугольник ABC
. Окружность \omega
с диаметром BC
пересекает AB
и AC
в точках E
и F
соответственно. Точка M
— середина стороны BC
, P
— точка пересечения AM
и EF
, X
— точка на дуге EF
, а Y
— точка пересечения луча XP
с окружностью \omega
. Докажите, что \angle XAY=\angle XYM
.
Решение. Пусть K
— вторая точка пересечения AM
с описанной окружностью треугольника AEF
. Поскольку MF=MC
как радиусы окружности \omega
, то \angle MFC=\angle MCF=\angle AEF
(см. задачу 141). Значит (см. задачу 144), прямая MF
касается описанной окружности треугольника AEF
в точке F
. Тогда MF^{2}=MK\cdot MA
.
С другой стороны, MY=MF
как радиусы окружности \omega
, поэтому по теореме о касательной и секущей MY^{2}=MK\cdot MA
, или \frac{MY}{MK}=\frac{MA}{MY}
. Тогда треугольники AMY
и YMK
с общим углом при вершине M
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle MYK=\angle YAM.\eqno(1)
Кроме того (см. задачу 2627),
AP\cdot PK=PE\cdot PF=PX\cdot PY,
поэтому четырёхугольник AXKY
вписанный (см. задачу 114), а YM
— касательная к его описанной окружности (см. задачу 144). Тогда
\angle XAY=\angle XYK.\eqno(2).
Таким образом, из равенств (2) и (1) следует, что
\angle XAY=\angle XAM+\angle YAM=\angle XYK+\angle MYK=\angle XYM.
Что и требовалось доказать.
Источник: Иранские математические олимпиады. — 2014, задача 7, с. 18