1917. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте.
Указание. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (см. задачу 1204).
Решение. Пусть M
и N
— середины оснований BC
и AD
равнобедренной трапеции ABCD
с перпендикулярными диагоналями AC
и BD
, K
и L
— середины боковых сторон AB
и CD
. Тогда
KM\parallel AC\parallel LN,~ML\parallel BD\parallel KN,
поэтому четырёхугольник KMLN
— прямоугольник. Значит, KL=MN
, но KL
— средняя линия трапеции, а MN
— высота.
Примечание. Верно и обратное: если диагонали трапеции перпендикулярны, а её высота равна средней линии, то трапеция равнобедренная (см. задачу 6650).