2290. В неравнобедренном остроугольном треугольнике
ABC
точки
C_{0}
и
B_{0}
— середины сторон
AB
и
AC
соответственно,
O
— центр описанной окружности,
H
— точка пересечения высот. Прямые
BH
и
OC_{0}
пересекаются в точке
P
, а прямые
CH
и
OB_{0}
— в точке
Q
. Оказалось, что четырёхугольник
OPHQ
— ромб. Докажите, что точки
A
,
P
и
Q
лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Пусть
BB'
и
CC'
— высоты треугольника. Поскольку
OB_{0}
и
OC_{0}
— серединные перпендикуляры к сторонам
AC
и
AB
, отрезки
B'B_{0}
и
C'C_{0}
равны высотам ромба
OPHQ
. Значит,
B'B_{0}=C'C_{0}
. Но эти отрезки являются проекциями отрезка
OH
на прямые
AB
и
AC
, поэтому,
OH
составляет равные углы с этими прямыми. Это означает, что прямая
OH
параллельна либо внутренней, либо внешней биссектрисе угла
BAC
(см. задачу 1174).
Поскольку
\angle CAO=\angle BAH
(см. задачу 20), лучи
AO
и
AH
симметричны относительно биссектрисы
l
угла
A
. Поэтому
OH
пересекает
l
и не может быть ей параллельна. Итак,
l
перпендикулярна
OH
, т. е. является биссектрисой и высотой треугольника
AOH
. Отсюда
AH=AO
, и точка
A
, как и точки
P
,
Q
, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
OH
.
Второй способ. Положим
a=BC
,
b=CA
,
c=AB
,
\alpha=\angle A
. Тогда
AB'=c\cos\alpha,~AC'=b\cos\alpha.

Как и выше,
\angle B'B_{0}=\angle C'C_{0}
, откуда
|AB_{0}-AB'|=|AC_{0}-AC'|
, или
|b-2c\cos\alpha|=|c-2b\cos\alpha|.

Рассмотрим два случая.
1)
b-2c\cos\alpha=c-2b\cos\alpha
. Тогда
(b-c)(1+2\cos\alpha)=0
. По условию
\cos\alpha\gt0
и, значит,
b=c
, что противоречит условию.
2)
b-2c\cos\alpha\gt0
,
c-2b\cos\cos\alpha\lt0
(геометрически это означает, что точка
B'
лежит между
A
и
B_{0}
, а точка
C_{0}
— между
A
и
C'
, см. рис.). Тогда
b-2c\cos\alpha=2b\cos\alpha-c
, или
(b+c)(1-2\cos\alpha)=0
. Таким образом,
\alpha=60^{\circ}
,
AC'=b\cos\alpha=AB_{0}
. Значит, точки
B_{0}
и
C'
симметричны относительно биссектрисы
l
угла
A
. Тогда прямые
OB_{0}
и
CC'
также симметричны, и их точка пересечения
Q
лежит на
l
. Аналогично точка
P
лежит на
l
.
Примечание. Остроугольность треугольника несущественна: из решения 2 ясно, что параллелограмм
OPHQ
является ромбом, только когда
\angle BAC=60^{\circ}
или
\angle BAC=120^{\circ}
. В последнем случае точки
A
,
P
и
Q
также лежат на одной прямой.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2010-2011, XXXVII, региональный этап, 10 класс