2357. В трапеции ABCD
основание BC
в два раза меньше основания AD
. Из вершины D
опущен перпендикуляр DE
на сторону AB
. Докажите, что CE=CD
.
Решение. Первый способ. Продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке M
. Поскольку BC\parallel AD
и BC=\frac{1}{2}AD
, отрезок BC
— средняя линия треугольника AMC
(см. примечание к задаче 1880). Значит, C
— середина гипотенузы DM
прямоугольного треугольника DEM
.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), следовательно, CE=\frac{1}{2}DM=CD
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Через вершину C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекает отрезки AD
и DE
в точках K
и P
соответственно. Четырёхугольник ABCK
— параллелограмм, поэтому AK=BC=\frac{1}{2}AD
. Значит, K
— середина AD
, а так как CK\parallel AB
, то по теореме Фалеса P
— середина DE
. Кроме того, CP\perp DE
, так как DE\perp AB
и CP\parallel AB
. Таким образом, CP
— медиана и высота треугольника DCE
. Следовательно, треугольник равнобедренный, CD=CE
. Что и требовалось доказать.