2464. Постройте треугольник ABC
, зная три точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность.
Указание. Докажите, что высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на биссектрисах углов треугольника ABC
(см. задачу 34).
Решение. Рассмотрим случай, когда треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— остроугольные. Предположим, что треугольник ABC
построен. Докажем, что высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на биссектрисах углов A
, B
и C
треугольника ABC
.
Пусть P
— точка пересечения прямых AA_{1}
и B_{1}C_{1}
. Тогда
\angle APC_{1}=\frac{1}{2}(\cup AC_{1}+\cup CB_{1}+\cup CA_{1})=\angle ACC_{1}+\angle CBB_{1}+\angle CAA_{1}=
=\frac{1}{2}\angle C+\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle A=90^{\circ}
(см. задачу 26). Остальное аналогично.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём через данные точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
прямые, перпендикулярные сторонам B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Точки пересечения этих прямых с описанной окружностью треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
есть вершины искомого треугольника. Действительно,
\angle BAA_{1}=\angle BB_{1}A_{1}=\angle CC_{1}A_{1}=\angle CAA_{1},
т. е. AA_{1}
— биссектриса угла BAC
. Аналогично докажем, что BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы углов ABC
и ACB
.
Аналогично для тупоугольных треугольников.