2466. Постройте остроугольный треугольник ABC
по данным основаниям A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
его высот.
Указание. Высоты треугольника ABC
лежат на биссектрисах треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(см. задачу 141).
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Докажем, что высоты треугольника ABC
лежат на биссектрисах треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Действительно,
\angle B_{1}A_{1}C=\angle BAC=\angle BA_{1}C_{1}
(см. задачу 533). Следовательно, \angle B_{1}A_{1}A=\angle C_{1}A_{1}A
. Аналогично для остальных углов.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём биссектрисы углов A_{1}
и B_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
и через точки A_{1}
и B_{1}
проведём прямые, перпендикулярные этим биссектрисам. Пусть проведённые прямые пересекаются в точке C
, прямая CB_{1}
пересекается с биссектрисой угла A_{1}
в точке A
, а прямая CB_{1}
пересекается с биссектрисой угла B_{1}
в точке B
. Докажем, что треугольник ABC
— искомый.
Пусть O
— точка пересечения биссектрис углов A_{1}
и B_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Обозначим
\angle OA_{1}B_{1}=\angle OA_{1}C_{1}=\alpha,~\angle OB_{1}A_{1}=\angle OB_{1}C_{1}=\beta.
Поскольку из точек A_{1}
и B_{1}
отрезок OC
виден под прямым углом, то эти точки лежат на окружности с диаметром OC
. Значит,
\angle OCB_{1}=\angle OA_{1}B_{1}=\alpha~\Rightarrow~\angle COB_{1}=90^{\circ}-\alpha.
С другой стороны, так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то C_{1}O
— биссектриса угла A_{1}C_{1}B_{1}
. Поэтому
\angle B_{1}OC_{1}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}+\alpha
(см. задачу 1101), значит,
\angle COB_{1}+\angle B_{1}OC_{1}=(90^{\circ}-\alpha)+90^{\circ}+\alpha=180^{\circ}.
Следовательно, точки C
, O
и C_{1}
лежат на одной прямой, а C_{1}C
— биссектриса угла A_{1}C_{1}B_{1}
. Тогда
\angle AOC_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}OC_{1}=180^{\circ}-(90^{\circ}+\beta)=90^{\circ}-\beta=\angle AB_{1}C_{1},
т. е. из точек O
и B_{1}
отрезок AC_{1}
виден под одним и тем же углом 90^{\circ}-\beta
. Значит, точки A
, B_{1}
, O
и C_{1}
лежат на одной окружности, причём AO
— диаметр этой окружности, так как OB_{1}\perp AC
по построению. Но тогда \angle AC_{1}O=90^{\circ}
. Аналогично докажем, что \angle BC_{1}O=90^{\circ}
. Следовательно, точки A
, C_{1}
и B
лежат на одной прямой. Таким образом, A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания высот треугольника ABC
, т. е. треугольник ABC
— искомый.