2506. На одной из сторон угла взяты две точки A
и B
. Найдите на другой стороне угла точку C
такую, чтобы угол ACB
был наибольшим. Постройте точку C
с помощью циркуля и линейки.
Указание. Задача сводится к построению окружности, проходящей через две данные точки и касающейся данной прямой (см. задачу 112).
Решение. Пусть O
— вершина угла. Через точки A
и B
проведём окружность, касающуюся второй стороны угла (см. задачу 112). Если C
— точка касания, то по теореме о касательной и секущей OC^{2}=OB\cdot OA
. Отрезок OC
— среднее геометрическое отрезков OB
и OA
.
Докажем теперь, что угол ACB
наибольший из всех углов с вершиной на второй стороне данного угла. Пусть M
— точка на этой стороне угла, отличная от C
. Если P
и Q
— точки пересечения с окружностью отрезков AM
и BM
, то угол AMB
измеряется полуразностью дуг AB
и PQ
(см. задачу 27), а угол ACB
— половиной дуги AB
. Следовательно, он больше.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1956, билет 6, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 48-6-3, с. 54
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 14.2, с. 114