2546. Пользуясь только циркулем, разделите пополам данный отрезок, т. е. постройте для данных точек A
и B
такую точку C
, чтобы точки A
, B
, C
лежали на одной прямой и AC=BC
.
Решение. Первый способ. Сначала удвоим отрезок AB
, т. е. построим точку D
, для которой AD=2AB
и точки A
, B
, D
лежат на одной прямой (B
между A
и D
). Для этого на окружности с центром в точке B
радиуса BA
отложим от точки A
последовательно три дуги, проведя окружности радиуса BA
. Конец третьей дуги есть искомая точка D
.
Затем построим две окружности с центрами в точках A
(радиусом AB
) и D
(радиусом DA
). Пусть M
и N
— точки их пересечения. С центрами в точках M
и N
построим окружности радиуса MA
и NA
. Их точка пересечения, отличная от A
, есть искомая середина отрезка AB
.
Действительно, точки A
, C
и D
лежат на одной прямой, так как каждая из них равноудалена от концов отрезка MN
, т. е. лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. С другой стороны, из подобия равнобедренных треугольников AMC
и ADM
следует, что
\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AM}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}.
Второй способ. Пусть D
— точка на луче AB
, для которой AC=2AB
(см. задачу 2545). С помощью одного циркуля построим образ C
точки D
при инверсии относительно окружности с центром A
радиуса AB
(см. задачу 11092). Тогда точка C
лежит на отрезке AB
, и
AB^{2}=AC\cdot AD=AC\cdot2AB,
откуда AC=\frac{1}{2}AD
. Следовательно, C
— середина отрезка AB
.