2745. Высоты AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Докажите, что AH\cdot HA_{1}=BH\cdot HB_{1}=CH\cdot HC_{1}
.
Решение. Из точек B_{1}
и C_{1}
сторона BC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
. Тогда BH\cdot HB_{1}=CH\cdot HC_{1}
(см. задачи 2627 и 2636). Аналогично BH\cdot HB_{1}=AH\cdot HA_{1}
. Следовательно, AH\cdot HA_{1}=BH\cdot HB_{1}=CH\cdot HC_{1}
.