2890. Четырёхугольник ABCD
вписанный, причём AC
— биссектриса угла DAB
. Докажите, что AC\cdot BD=AD\cdot DC+AB\cdot BC
.
Указание. Примените теорему Птолемея (см. задачу 130).
Решение. Заметим, что точка C
— середина дуги BCD
описанной окружности четырёхугольника ABCD
(см. задачу 430), поэтому DC=BC
. Применив теорему Птолемея (см. задачу 130), получим, что
AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC=AD\cdot DC+AB\cdot BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.102, с. 42
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.107, с. 41