2907. В треугольнике ABC
известно, что AB=c
, BC=a
, AC=b
; O
— центр окружности, касающейся стороны AB
и продолжений сторон AC
и BC
, D
— точка пересечения луча CO
со стороной AB
. Найдите отношение \frac{CO}{OD}
.
Ответ. \frac{a+b}{c}
.
Решение. Заметим, что в точке O
пересекаются биссектрисы внешних углов треугольника ABC
при вершинах A
и B
и биссектриса внутреннего угла при вершине C
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}
, а так как AB=c
, то
AD=b\cdot\frac{c}{a+b}=\frac{bc}{a+b}.
Луч AO
— биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника ABC
, поэтому (см. задачу 1645)
\frac{CO}{OD}=\frac{AC}{AD}=\frac{b}{\frac{bc}{a+b}}=\frac{a+b}{c}.