2923. Точка J
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
. Известно, что \angle ABC=\beta
. Найдите угол AJC
.
Ответ. \frac{\beta}{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Поскольку CI
и CG
— биссектрисы смежных углов, \angle ICJ=90^{\circ}
(см. задачу 937). Кроме того
\angle AIC=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}
(см. задачу 4770). Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AJC=\angle IJC=\angle AIC-\angle ICJ=\left(90^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)-90^{\circ}=\frac{\beta}{2}.
Второй способ. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Поскольку CI
и CG
— биссектрисы смежных углов, \angle ICJ=90^{\circ}
(см. задачу 937). Аналогично, \angle IBJ=90^{\circ}
. Значит, четырёхугольник BICJ
вписан в окружность (см. задачу 1689). Вписанные в эту окружность углы IJC
и IBC
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle AJC=\angle IJC=\angle IBC=\frac{\beta}{2}.