2941. Стороны треугольника равны 16, 10, 10. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Ответ.
\frac{8}{3}
; 24; 6; 6.
Указание. Радиус вневписанной окружности, касающейся основания, можно найти из подобия треугольников. Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны, равен высоте, опущенной на основание.
Решение. Пусть
r
— радиус вписанной окружности треугольника
ABC
(
AC=BC=10,AB=8
),
r_{c}
,
r_{b}
и
r_{a}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон
AB
,
AC
и
BC
соответственно,
O_{c},O_{b}
и
O_{a}
— их центры,
S
— площадь треугольника
ABC
,
p
— полупериметр,
p=\frac{10+10+16}{2}=18
.
Первый способ. Поскольку высота
CK
равнобедренного треугольника
ABC
является его медианой, то
CK^{2}=\sqrt{AC^{2}-AK^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6,

поэтому
S=\frac{1}{2}AB\cdot CK=8\cdot6=48.

Следовательно,
r=\frac{S}{p}=\frac{48}{18}=\frac{8}{3}.

Если окружность с центром
O_{c}
касается продолжения стороны
BC
в точке
M
, то из подобия треугольников
CMO_{c}
и
CKB
находим, что
r_{c}=O_{c}M=BK\cdot\frac{CM}{CK}=BK\cdot\frac{BC+BM}{CK}=

=BK\cdot\frac{BC+BK}{CK}=8\cdot\frac{18}{6}=24.

Пусть окружность с центром
O_{a}
касается продолжения стороны
AB
в точке
F
, а продолжения стороны
AC
— в точке
E
. Поскольку
CO_{a}
— биссектриса угла
BCE
, а
CK
— биссектриса его смежного угла
ACB
, то
\angle O_{a}CK=90^{\circ}
. Поэтому
O_{a}CKF
— прямоугольник. Следовательно,
r_{b}=r_{a}=O_{A}F=CK=6.

Второй способ. Пусть
a
,
b
и
c
— стороны произвольного треугольника,
S
— его площадь,
p
— полупериметр,
r
— радиус вписанной окружности,
r_{a}
,
r_{b}
и
r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон
a
,
b
и
c
соответственно. Тогда
r=\frac{S}{p},~r_{a}=\frac{S}{p-a}

(см. задачи 452 и 392). В нашем случае
r=\frac{S}{p}=\frac{48}{18}=\frac{8}{3},~r_{c}=\frac{S}{p-c}=\frac{48}{18-16}=24,

r_{b}=r_{a}=\frac{S}{p-a}=\frac{48}{18-10}=6.

Третий способ. Оставим обозначения, принятые в предыдущих способах. Поскольку
AO
— биссектриса треугольника
AKC
, то
\frac{OK}{OC}=\frac{AK}{AC}=\frac{4}{5},

а так как
OK=r
, то
r=OK=\frac{8}{8+10}CK=\frac{8}{18}\cdot6=\frac{8}{3}.

Поскольку
AO_{c}
— биссектриса внешнего угла треугольника
AKC
, то
\frac{O_{c}K}{O_{c}C}=\frac{AK}{AC}=\frac{4}{5},

а так как
O_{c}K=r_{c}
, то
r_{c}=O_{c}K=CK\cdot\frac{4}{5-4}=4CK=4\cdot6=24.

Поскольку
CO_{a}
— биссектриса угла
BCE
, а
CK
— биссектриса его смежного угла
ACB
, то
\angle O_{a}CK=90^{\circ}
. Поэтому
O_{a}CKF
— прямоугольник. Следовательно,
r_{b}=r_{a}=O_{A}F=CK=6.