3221. Через точку L
, взятую внутри параллелограмма ABCD
, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны AB
и CD
соответственно в точках K
и G
, а стороны BC
и AD
соответственно в точках F
и M
. Докажите, что прямые BM
, KD
и CL
пересекаются в одной точке.
Указание. Воспользуйтесь следующим утверждением (см. задачи 3159 и 3220).
Через точку X
, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной X
равновелики тогда и только тогда, когда точка X
лежит на диагонали параллелограмма.
Решение. Воспользуемся следующим утверждением (см. задачи 3159 и 3220).
Через точку X
, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной X
равновелики тогда и только тогда, когда точка X
лежит на диагонали параллелограмма.
Пусть прямые BM
и KD
пересекаются в точке N
. Докажем, что прямая CL
проходит через точку N
. Для этого проведём через точку N
прямые, параллельные сторонам исходного параллелограмма. Пусть прямая, параллельная AB
, пересекает стороны BC
и AD
соответственно в точках P
и Q
, а вторая прямая — стороны AB
и CD
соответственно в точках R
и S
, H
— точка пересечения отрезков KG
и PQ
, E
— точка пересечения отрезков RS
и MF
.
Поскольку точка N
лежит на диагонали BM
параллелограмма ABFM
и на диагонали KD
параллелограмма AKGD
, то S_{ARNQ}=S_{NPFE}
и S_{ARNQ}=S_{NHGS}
. Значит, S_{NPFE}=S_{NHGS}
, поэтому параллелограммы HPFL
и ELGS
равновелики. Следовательно, точка L
лежит на диагонали CN
параллелограмма NPCS
. Поэтому прямая CL
проходит через точку N
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.54, с. 89
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.55, с. 87