3234. Пусть a
, b
, c
— стороны треугольника, R
— радиус описанной окружности, r
— радиус вписанной окружности, S
— площадь треугольника. Докажите, что
\frac{9r}{2S}\leqslant\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant\frac{9R}{4S}.
Решение. Пусть h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— высоты треугольника, опущенные на стороны a
, b
, c
соответственно. Тогда S=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}
, поэтому
\frac{1}{a}=\frac{h_{a}}{2S},~\frac{1}{b}=\frac{h_{b}}{2S},~\frac{1}{c}=\frac{h_{c}}{2S},
а так как h_{a}\leqslant m_{a}
, h_{b}\leqslant m_{b}
и h_{c}\leqslant m_{c}
, где m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
— медианы треугольника, проведённые к сторонам a
, b
, c
соответственно, то
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{h_{a}}{2S}+\frac{h_{b}}{2S}+\frac{h_{c}}{2S}=\frac{h_{a}+h_{b}+h_{c}}{2S}\leqslant\frac{m_{a}+m_{b}+m_{c}}{2S}.
Применив неравенство
m_{a}+m_{b}+m_{c}\leqslant\frac{9}{2}R
(см. задачу 3233), получим, что
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant\frac{m_{a}+m_{b}+m_{c}}{2S}\leqslant\frac{\frac{9}{2}R}{2S}=\frac{9R}{4S}.
Из неравенства h_{a}+h_{b}+h_{c}\geqslant9r
(см. задачу 3585) следует, что
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{h_{a}+h_{b}+h_{c}}{2S}\geqslant\frac{9r}{2S}.