3236. Пусть r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно, h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты, опущенные на стороны соответственно a
, b
и c
. Докажите, что
\frac{r_{a}}{h_{a}}+\frac{r_{b}}{h_{b}}+\frac{r_{c}}{h_{c}}\geqslant3.
Указание. Если S
— площадь треугольника, p
— его полупериметр, r_{b}
— радиус вневписанной окружности треугольника, касающейся стороны, равной b
, то r_{b}=\frac{S}{p-b}
Решение. Первый способ. Пусть S
— площадь треугольника, p
— его полупериметр. Тогда r_{b}=\frac{S}{p-b}
и r_{c}=\frac{S}{p-c}
(см. задачу 392). Следовательно,
\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}=\frac{p-b}{S}+\frac{p-c}{S}=\frac{p-b+p-c}{S}=\frac{2p-b-c}{S}=
=\frac{a+b+c-b-c}{S}=\frac{a}{S}=\frac{a}{\frac{1}{2}ah_{a}}=\frac{2}{h_{a}}.
Следовательно, \frac{2r_{a}}{h_{a}}=\frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{a}}{r_{c}}
, поэтому \frac{r_{a}}{h_{a}}=\frac{1}{2}\left(\frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{a}}{r_{c}}\right)
. Аналогично
\frac{r_{b}}{h_{b}}=\frac{1}{2}\left(\frac{r_{b}}{r_{a}}+\frac{r_{b}}{r_{c}}\right),\frac{r_{c}}{h_{c}}=\frac{1}{2}\left(\frac{r_{c}}{r_{a}}+\frac{r_{c}}{r_{b}}\right).
Сложив эти три равенства, получим, что
\frac{r_{a}}{h_{a}}+\frac{r_{b}}{h_{b}}+\frac{r_{c}}{h_{c}}=\frac{1}{2}\left(\frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{a}}{r_{c}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{r_{b}}{r_{a}}+\frac{r_{b}}{r_{c}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{r_{c}}{r_{a}}+\frac{r_{c}}{r_{b}}\right)=
=\frac{1}{2}\left(\frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{a}}{r_{c}}+\frac{r_{b}}{r_{a}}+\frac{r_{b}}{r_{c}}+\frac{r_{c}}{r_{a}}+\frac{r_{c}}{r_{b}}\right)=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{b}}{r_{a}}\right)+\left(\frac{r_{a}}{r_{c}}+\frac{r_{c}}{r_{a}}\right)+\left(\frac{r_{b}}{r_{c}}+\frac{r_{c}}{r_{b}}\right)\right)\geqslant
\geqslant\frac{1}{2}(2+2+2)=3.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Применив формулы
h_{a}=\frac{2r_{b}r_{c}}{r_{b}+r_{c}},~h_{b}=\frac{2r_{a}r_{c}}{r_{a}+r_{c}},~h_{c}=\frac{2r_{a}r_{b}}{r_{a}+r_{b}}
(см. задачу 11160г), получим, что
\frac{r_{a}}{h_{a}}+\frac{r_{b}}{h_{b}}+\frac{r_{c}}{h_{c}}\geqslant3~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}\left(\frac{r_{a}(r_{b}+r_{c})}{r_{b}r_{c}}+\frac{r_{b}(r_{a}+r_{c})}{r_{a}r_{c}}+\frac{r_{c}(r_{a}+r_{b})}{r_{a}r_{b}}\right)\geqslant3~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{r_{a}}{r_{c}}+\frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{b}}{r_{c}}+\frac{r_{b}}{r_{a}}+\frac{r_{c}}{r_{b}}+\frac{r_{c}}{r_{a}}\geqslant6~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\left(\frac{r_{a}}{r_{c}}+\frac{r_{c}}{r_{a}}\right)+\left(\frac{r_{a}}{r_{b}}+\frac{r_{b}}{r_{a}}\right)+\left(\frac{r_{c}}{r_{b}}+\frac{r_{b}}{r_{c}}\right)\geqslant6.~\Leftrightarrow~
Последнее неравенство верно, так как каждое из трёх слагаемых левой части не меньше 2.
Примечание. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.