3243. Дан треугольник со сторонами a
, b
и c
. Докажите, что если a^{2}+b^{2}=5c^{2}
, то медианы, проведённые к сторонам a
и b
, взаимно перпендикулярны.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть AM=m_{a}
и BN=m_{b}
треугольника ABC
со сторонами AB=c
, AC=b
и BC=a
пересекаются в точке P
. Тогда AP=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}m_{a}
и BP=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}m_{b}
. Применив формулу для медианы (см. задачу 4014), получим, что
AP^{2}+BP^{2}=\frac{4}{9}m_{a}^{2}+\frac{4}{9}m_{b}^{2}=\frac{4}{9}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2})=
=\frac{4}{9}\left(\frac{1}{4}\left(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}\right)+(\frac{1}{4}\left(2a^{2}+2c^{2}-b^{2}\right)\right)=
=\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+4c^{2})=\frac{1}{9}(5c^{2}+4c^{2})=c^{2}=BC^{2}.
Следовательно, \angle BPC=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Верно и обратное: если медианы, проведённые к сторонам a
и b
, взаимно перпендикулярны, то a^{2}+b^{2}=5c^{2}
(см. задачу 1947).