3276. Дан такой выпуклый четырёхугольник ABCD
, что AB=BC
и AD=DC
. Точки K
, L
и M
— середины отрезков AB
, CD
и AC
соответственно. Перпендикуляр, проведённый из точки A
к прямой BC
, пересекается с перпендикуляром, проведённым из точки C
к прямой AD
, в точке H
. Докажите, что прямые KL
и HM
перпендикулярны.
Указание. Пусть S
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на BC
, а P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки C
на AD
. Тогда H
— радикальный центр описанных окружностей четырёхугольников ASBM
, ASCP
и MCDP
.
Решение. Первый способ. Обозначим основание перпендикуляра из точки A
на BC
через S
, а основание перпендикуляра из точки C
на AD
— через P
(рис. 1). Заметим, что точки A
, S
, C
и P
лежат на окружности с диаметром AC
, так как \angle ASC=\angle APC=90^{\circ}
. Аналогично точки A
, B
, S
и M
лежат на окружности с диаметром AB
и центром K
, а точки D
, M
, C
, P
лежат на окружности с диаметром CD
и центром L
. Тогда прямая AS
проходит через точки пересечения окружностей ASBM
и ASCP
(радикальная ось этих окружностей), а прямая PC
проходит через точки пересечений окружностей MCDP
и ASCP
(см. задачу 6391).
Известно, что для любых трёх попарно пересекающихся окружностей три прямые, каждая из которых проходит через точки пересечения двух из этих окружностей, пересекаются в одной точке (см. задачу 6393) — в радикальном центре этих трёх окружностей. Следовательно, точка H
лежит на прямой, проходящей через точки пересечения окружностей ASBM
и MCDP
. Значит, прямая MH
перпендикулярна прямой KL
, проходящей через центры этих окружностей.
Второй способ. Обозначим
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{d}.
Заметим, что
\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{CL}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{DL}.
Отсюда получаем, что 2\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
(рис. 2). Заметим также, что 2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}
. Следовательно, прямые KL
и HM
перпендикулярны тогда и только тогда, когда (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})=0
.
Поскольку по условию AB=BC
и AD=DC
, прямая BD
— серединный перпендикуляр к отрезку AC
. Поэтому точка M
лежит на прямой BD
и BD\perp AC
. Рассмотрим вектор
\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{DM}\perp\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}.
Таким образом, (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})=0
.
Поскольку по условию HA\perp BC
и HC\perp AD
, то \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=0
и \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=0
. Следовательно,
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=
=-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})=0.
Что и требовалось доказать.
Третий способ. Достроим треугольники AKD
и BKC
до параллелограммов AKQD
и BKRC
соответственно (рис. 3). Заметим, что DRCQ
— также параллелограмм, и точка L
— точка пересечения его диагоналей. Значит, L
— середина QR
.
Поскольку по условию AB=BC
и AD=DC
, прямая BD
— серединный перпендикуляр к отрезку AC
. Следовательно, точка M
лежит на прямой BD
и BD\perp AC
, а ортогональные проекции векторов \overrightarrow{AD}
и \overrightarrow{BC}
на прямую AC
равны. Значит, равны и ортогональные проекции векторов \overrightarrow{KQ}
и \overrightarrow{KR}
на эту прямую. Следовательно, QR\perp AC
. Тогда стороны KQ
, QR
и RK
треугольника KQR
соответственно перпендикулярны сторонам HC
, CA
и AH
треугольника HCA
. Значит, перпендикулярны и их медианы KL
и HM
.