3289. Медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
. Известно, что AC=3MB
.
а) Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA_{1}
и CC_{1}
, если известно, что AC=30
.
Ответ. 1125.
Решение. а) Медианы треугольника делятся точкой их пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника (рис. 1), поэтому
BB_{1}=\frac{3}{2}MB=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}AC=\frac{1}{2}AC.
Медиана BB_{1}
треугольника ABC
равна половине стороны AC
, значит, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине B
(см. задачу 1188).
б) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
(рис. 2). По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014) находим, что
AA_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}),~CC_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2a^{2}-c^{2}),~
поэтому
AA_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}+2b^{2}+2a^{2}-c^{2})=
=\frac{1}{4}(a^{2}+c^{2}+4b^{2})=\frac{1}{4}(b^{2}+4b^{2})=\frac{5}{4}b^{2}=\frac{5}{4}\cdot900=1125.
