3594. На плоскости даны прямая l
и две точки P
и Q
, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l
такую точку M
, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM
, опущенных на стороны PM
и QM
, наименьшее.
Указание. Если окружность с диаметром PQ
не имеет общих точек с прямой l
, то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки P
и Q
и касающейся прямой l
(см. задачу 112).
Решение. Пусть PK
и QH
— высоты треугольника PQM
. Тогда точки K
и H
лежат на окружности с диаметром PQ
. Если эта окружность имеет с прямой l
общие точки, то каждая из этих точек является искомой точкой M
, поскольку в этом случае расстояние между основаниями указанных высот равно 0; точки K
и H
совпадают с M
.
Предположим, что указанная окружность не имеет общих точек с прямой l
. Поскольку искомая точка M
в этом случае лежит вне окружности, то угол PMQ
— острый (см. задачу 1772). Треугольники KMH
и PMQ
подобны (по двум углам) с коэффициентом \cos\angle PMQ
. Поэтому KH=PQ\cdot\cos\angle PMQ
. Следовательно, отрезок KH
— наименьший, если угол PMQ
— наибольший.
Таким образом, задача сводится к построению на прямой l
такой точки M
, для которой угол PMQ
— наибольший. Рассмотрим меньшую из двух окружностей, проходящих через точки P
и Q
и касающихся прямой l
(см. задачу 112). Тогда точка касания есть искомая точка M
.
Действительно, если M_{1}
— произвольная точка прямой l
, отличная от M
, а D
— точка пересечения отрезка PM_{1}
с построенной окружностью, то
\angle PM_{1}Q\lt\angle PDQ=\angle PMQ.