3827. Докажите, что произведение отрезков, на которые высота остроугольного треугольника разбивает сторону, равно произведению этой высоты на её отрезок от ортоцентра до основания.
Указание. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно стороны, лежит на описанной окружности треугольника (см. задачу 4785).
Решение. Пусть AA_{1}
— высота остроугольного треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). Требуется доказать, что BA_{1}\cdot A_{1}C=AA_{1}\cdot A_{1}H
.
Пусть H_{1}
— точка пересечения продолжения высоты AA_{1}
с описанной окружностью треугольника ABC
. Тогда A_{1}H_{1}=A_{1}H
(см. задачу 4785).
По теореме об отрезках пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
BA_{1}\cdot A_{1}C=AA_{1}\cdot A_{1}H_{1}=AA_{1}\cdot A_{1}H.
Что и требовалось доказать.