4126. Докажите, что описанная около треугольника окружность является окружностью девяти точек треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей данного треугольника.
Указание. См. задачу 4769.
Решение. Пусть I_{a}
, I_{b}
, I_{c}
— центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно BC
, AC
, AB
треугольника ABC
. Тогда I_{a}A
, I_{b}B
, I_{c}C
— высоты треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769). Окружность, описанная около треугольника ABC
проходит через основания A
, B
, C
высот треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 174). Следовательно, это его окружность девяти точек.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.109(а), с. 119
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.132, с. 117
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 6.1, с. 51