4126. Докажите, что описанная около треугольника окружность является окружностью девяти точек треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей данного треугольника.
Указание. См. задачу 4769.
Решение. Пусть I_{a}
, I_{b}
, I_{c}
— центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно BC
, AC
, AB
треугольника ABC
. Тогда I_{a}A
, I_{b}B
, I_{c}C
— высоты треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769). Окружность, описанная около треугольника ABC
проходит через основания A
, B
, C
высот треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 174). Следовательно, это его окружность девяти точек.