4127. Стороны треугольника равны a
, b
и c
, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
соответственно, полупериметр треугольника равен p
. Докажите, что
a^{2}(p-b)(p-c)+b^{2}(p-a)(p-c)+c^{2}(p-a)(p-b)=4p^{2}r(R-r).
Указание. Пусть S
— площадь треугольника; r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных a
, b
, c
соответственно; r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника.
Примените равенства S=pr
, S=r_{a}(p-a)
, S=r_{b}(p-b)
, S=r_{c}(p-c)
(см. задачу 392), формулу Герона и равенство r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+4R
(см. задачу 3240).
Решение. Пусть S
— площадь треугольника; r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных a
, b
, c
соответственно; r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника. Из равенств S=r_{a}(p-a)
, S=r_{b}(p-b)
, S=r_{c}(p-c)
(см. задачу 392) и формулы Герона следует, что
(p-b)(p-c)=\frac{S^{2}}{p(p-a)}=\frac{S}{p}\cdot\frac{S}{p-a}=\frac{pr}{p}\cdot\frac{r_{a}(p-a)}{p-a}=rr_{a}.
Аналогично (p-a)(p-c)=rr_{b}
и (p-a)(p-b)=rr_{c}
.
Из равенства r_{a}+r_{b}+r_{c}=r+4R
(см. задачу 3240) находим, что
R=\frac{1}{4}(r_{a}+r_{b}+r_{c}-r).
Таким образом, осталось доказать равенство
a^{2}rr_{a}+b^{2}rr_{b}+c^{2}rr_{c}=4p^{2}r\left(\frac{1}{4}(r_{a}+r_{b}+r_{c}-r)-r\right),
или
a^{2}r_{a}+b^{2}r_{b}+c^{2}r_{c}=p^{2}(r_{a}+r_{b}+r_{c}-5r).
Из равенства S=r_{a}(p-a)
находим, что ar_{a}=pr_{a}-S
. Аналогично br_{b}=pr_{b}-S
и ar_{c}=pr_{c}-S
. Тогда
a^{2}r_{a}+b^{2}r_{b}+c^{2}r_{c}=a(pr_{a}-S)+b(pr_{b}-S)+c(pr_{c}-S)=
=p(ar_{a}+br_{b}+cr_{c})-(a+b+c)S=p(ar_{a}+br_{b}+cr_{c})-2pS=
=p(ar_{a}+br_{b}+cr_{c}-2S).
С другой стороны, правая часть доказываемого равенства, также равна p(ar_{a}+br_{b}+cr_{c}-2S)
. Действительно,
p^{2}(r_{a}+r_{b}+r_{c}-5r)=p(pr_{a}+pr_{b}+pr_{c}-5pr)=
=p(ar_{a}+S+br_{b}+S+cr_{c}+S-5S)=p(ar_{a}+br_{b}+cr_{c}-2S).
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 50