4131. Биссектрисы углов, образованных прямыми, содержащими противоположные стороны выпуклого четырёхугольника, перпендикулярны. Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямые, содержащие противоположные стороны AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, пересекаются в точке K
, а прямые AD
и BC
— в точке L
; биссектриса угла AKD
пересекает стороны AB
и CD
в точках E
и F
, биссектриса угла AKD
пересекает стороны AD
и BC
в точках E
и H
, а биссектрисы пересекаются в точке O
.
Треугольник EKF
равнобедренный, так как его биссектриса KO
является высотой. Аналогично треугольник GLH
также равнобедренный. Обозначим \angle AKD=\alpha
, \angle CLD=\beta
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADC=\angle GDK=\angle LGK-\angle DKG=\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\beta}{2}.
Аналогично
\angle CBK=\angle LHG-\angle AKG=\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\beta}{2}=\angle ADC,
поэтому
\angle ABC+\angle ADC=(180^{\circ}-\angle CBK)+\angle CBK=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник ABCD
вписанный (см. задачу 49). Что и требовалось доказать.
Примечание. Обратное утверждение также верно (см. задачу 162).
Верно более общее утверждение: Точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы углов, образованных прямыми AB
и CD
, параллельны биссектрисам углов, образованных прямыми AD
и BC
.