4291. Около остроугольного треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Перпендикуляры, опущенные из точки O
на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K
, M
и P
. Докажите, что \overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}
, где Q
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Первый способ. Пусть точки K
, M
и P
лежат на меньших дугах соответственно BC
, AC
, AB
описанной окружности треугольника ABC
. Очевидно, точки K
, M
, P
— середины этих дуг, поэтому AK
, BM
, CP
— биссектрисы углов треугольника ABC
, а их точка пересечения — центр Q
вписанной окружности.
Пусть \overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}
. Модули векторов \overrightarrow{OK}
, \overrightarrow{OM}
, \overrightarrow{OP}
равны, поэтому вектор \overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OM}
направлен по биссектрисе угла KOM
, которая параллельна биссектрисе CP
(прямые OK
и OM
перпендикулярны сторонам угла ACB
). В то же время,
\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OM},
т. е. вектор \overrightarrow{PN}
коллинеарен вектору \overrightarrow{CP}
, а значит, точка N
лежит на биссектрисе CP
. Аналогично доказывается, что точка N
лежит и на биссектрисе BM
, т. е. совпадает с точкой Q
пересечения биссектрис.
Второй способ. Пусть точки K
, M
и P
лежат на меньших дугах соответственно BC
, AC
, AB
описанной окружности треугольника ABC
. Очевидно, точки K
, M
, P
— середины этих дуг, поэтому AK
, BM
, CP
— биссектрисы углов треугольника ABC
, а их точка пересечения — центр Q
вписанной окружности.
Высоты треугольника MKP
лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC
(см. задачу 33), поэтому Q
— точка пересечения высот треугольника MPK
. При этом O
— центр описанной окружности треугольника MPK
. Следовательно (см. задачу 4516),
\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}.
Автор: Гальперин В.
Источник: Турнир городов. — 1983-1984, V, осенний тур, старшие классы, основной вариант