4314. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника, R
— радиус описанной окружности, r_{a}
— радиус вневписанной окружности, противолежащей углу \alpha
. Докажите, что
\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha=\frac{r_{a}-R}{R}.
Решение. Пусть r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
с углами \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно; O
, I
и I_{a}
— центры соответственно описанной, вписанной окружностей и вневписанной окружности, противолежащей углу \alpha
; M
— середина стороны BC
, P
и Q
— точки касания этой и вписанной окружности со стороной BC
;
По теореме Мансиона (см. задачу 57) описанная окружность треугольника ABC
пересекает отрезок II_{a}
в его середине K
. Отрезок KM
с концами в серединах диагоналей II_{a}
и MQ
трапеции с основаниями IQ
и I_{a}P
равен полуразности оснований (см. задачу 1226), т. е. KM=\frac{I_{a}P-IQ}{2}
, или
\frac{r_{a}-R}{2}=\frac{I_{a}P-IQ}{2}=KM=OK-OM=
=OK-OC\cos\angle COM=R-R\cos\alpha=R(1-\cos\alpha),
откуда, учитывая, что
r=R(\cos\beta+\cos\gamma+\cos\alpha-1)
(см. задачу 3228), получаем
r_{a}=r+2R(1-\cos\alpha)=R(\cos\beta+\cos\gamma+\cos\alpha-1)+2R(1-\cos\alpha)=
=R(\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha+1).
Следовательно,
\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha=\frac{r_{a}-R}{R}.
Что и требовалось доказать.