4463. M
— точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника, N
— точка пересечения его средних линий (отрезков, соединяющих середины противоположных сторон), O
— центр описанной окружности. Докажите, что OM\geqslant ON
.
Решение. Пусть E
, F
, G
и H
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и DA
данного четырёхугольника ABCD
; P
и Q
— середины его диагоналей AC
и BD
соответственно.
Четырёхугольники EFGH
и PFQH
— параллелограммы (см. задачи 1204 и 1234), причём точка N
— их общий центр как середина общей диагонали FH
. Значит, N
— середина отрезка PQ
. Перпендикуляры, опущенные на хорды AC
и BD
из центра O
описанной окружности четырёхугольника ABCD
, проходят через середины P
и Q
этих хорд. Значит, из точек P
и Q
отрезок OM
виден под прямым углом. Следовательно, точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром OM
. Поскольку точка N
лежит внутри этой окружности (как середина хорды PQ
), то OM\geqslant ON
.