4549. В параллелограмме отношение сторон и отношение диагоналей одинаковы и равны \frac{1}{2}
. Из вершины тупого угла A
опущена высота AE
на большую сторону CD
. Найдите отношение \frac{DE}{CE}
.
Ответ. \frac{3}{5}
.
Решение. Пусть ABCD
— параллелограмм с тупым углом при вершине A
. Положим AD=a
, CD=2a
, AC=d
. Поскольку против тупого угла параллелограмма лежит большая диагональ (см. задачу 1864), то BD=2d
. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (см. задачу 4011), поэтому
2a^{2}+2\cdot4a^{2}=d^{2}+4d^{2},
откуда d^{2}=2a^{2}
.
Обозначим \angle ADC=\alpha
. Из треугольника ADC
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{AD^{2}+DC^{2}-AC^{2}}{2AD\cdot DC}=\frac{a^{2}+4a^{2}-2a^{2}}{4a^{2}}=\frac{3}{4}.
Тогда
DE=AD\cos\alpha=\frac{3}{4}a,~EC=DC-DE=2a-\frac{3}{4}a=\frac{5}{4}a.
Следовательно, \frac{DE}{CE}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1965, билет 7, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 65-7-2, с. 110