4550. Три прямые, каждая из которых проходит через вершину треугольника и точку касания вневписанной окружности с противоположной стороной, пересекаются в одной точке (см. задачу 4284). Она называется точкой Нагеля треугольника. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника, M
— точка пересечения медиан, N
— точка Нагеля. Докажите, что точки I
, M
и N
лежат на одной прямой (прямой Нагеля), причём MN:MI=2:1
.
Указание. Прямая, проходящая через вершину треугольника и точку касания вневписанной окружности с противоположной стороной, параллельна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и середину этой стороны.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— медианы треугольника ABC
; K
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
, P
— точка этой окружности, диаметрально противоположная точке K
; A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— точки касания вневписанных окружностей треугольника ABC
со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно.
При гомотетии с центром A
, переводящей вписанную окружность треугольника ABC
во вневписанную окружность, касающуюся стороны BC
, касательная к вписанной окружности, проходящая через точку P
, переходит в параллельную её касательную к вневписанной окружности, т. е. в прямую BC
. Значит, точка P
переходит в точку A_{2}
. Поскольку BK=CA_{2}
(см. задачу 4805), середина A_{1}
стороны BC
является серединой отрезка KA_{2}
, а так как I
— середина диаметра KP
, то по теореме о средней линии AA_{2}\parallel IA_{1}
. Аналогично BB_{2}\parallel IB_{2}
и CC_{2}\parallel IC_{2}
.
При гомотетии с центром M
и коэффициентом -2
точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
переходят в точки A
, B
и C
соответственно, а прямые IA_{1}
, IB_{1}
и IC_{1}
, пересекающиеся в точке I
, — в параллельные им прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
, пересекающиеся в точке N
. Значит, при этой гомотетии точка I
переходит в точку N
. Следовательно, точки I
, M
и N
лежат на одной прямой, причём точка M
лежит между I
и N
и MN=2MI
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Следствие. Точка Нагеля серединного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
) совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC
.
Доказательство. Действительно, если M
, I
и N
— точка пересечения медиан, центр вписанной окружности и точка Нагеля треугольника ABC
, то при гомотетии с центром M
и коэффициентом -\frac{1}{2}
точка N
перейдёт в точку I
. С другой стороны, при этой гомотетии треугольник ABC
перейдёт в серединный треугольник, а точка Нагеля треугольника ABC
— в точку N'
Нагеля серединного треугольника, следовательно, точки N'
и I
совпадают.